Біреуінде үшеуі • Евтихан Эпифанов • «Элементтер» бойынша танымал ғылым тапсырмалары • Математика

Біреуінің үшеуі

Тапсырма

Қанша жолмен квадратты үш тіктөртбұрышқа кесуге болады, олардың әрқайсысы екіншісіне ұқсас? Екінші тіктөртбұрыш бір-бірінің жағы екінші жағы сияқты бір-біріне қатысты болса, ұқсас. Айналдыру немесе квадратты көрсету кезіндегі айырмашылықтар бірдей саналады.


Кеңестер

Үш тіктөртбұрыштар көп емес, сондықтан олардың орналасу орындарын шаршы алаңға қарай сұрыптап, тіктөртбұрыштардың әрқайсысында ұқсас болатынын тексеріңіз.


Шешім

Егер алаңға қалай орналастыруға болатынын түсіну үшін, сіз үш квадраттың төрт бұрышты бөлігіне сәл жақындасаңыз, онда сіз тек екі түрлі жағдайды (квадраттың бұрылысына дейін) деген қорытындыға тез арада келе аласыз. Шынында да, шаршы алаңның жоғарғы жағына үш, екі немесе төртбұрыш салынуы мүмкін. Егер олардың үшеуі болса, онда фиг. 1 қалды. Егер екеу болса, онда – оң жағында осы суретте көрсетілген конфигурация. Егер тек бір тіктөртбұрыш үстіңгі жаққа жақын болса, екеуі де оның астында орналасқан және олардың ортақ жағы көлденең (немесе бірінші конфигурация сияқты), немесе тік (екінші конфигурация сияқты).

Сурет. 1.

Барлық үш тіктөртбұрыш бір-біріне тең болатын алғашқы конфигурация туралы анық көрінеді: шарт бойынша олар ұқсас болуы керек, бірақ келісімнен олар теңшамаменжақсы жақтары.

Екінші конфигурацияны түсінеміз. Біз қарастырамыз бағдарлау тіктөртбұрыш оның ұзын жағының бағыты болып табылады (біз бір жағынан екіншісіне қарағанда ұзағырақ тіктөртбұрыштары бар екенін түсінеміз). Жоғарғы екі тіктөртбұрыш қалай бағытталуы мүмкін?

Олар тік болады (1-суреттегідей), өйткені олар тең болады (бшамаменүлкен жағы бірдей), сондықтан үлкенірек жақтан кішірекке қатынасы 2-ден кем (өйткені кіші жағы квадраттың жартысына тең, ал үлкенірек квадраттың бүкіл жағынан үлкен емес). Төменгі тіктөртбұрышта бұл арақатынас 2-ден артық болады. Сондықтан ол жоғарғы жағына ұқсас болмайды.

Олар көлденең болуы мүмкін (2-сурет, сол жақта). Содан кейін екі жоғарғы тіктөртбұрыш қайтадан тең болады және барлық үш тіктөртбұрыстың ұқсастығын есептеу үшін оңай, әр тараптың жағы бір-бірін 3: 2 ретінде өңдеу керек.

Сурет. 2

Соңында, жоғарғы тіктөртбұрыштардың біреуі көлденең, екіншісі тік болады ма? Тексеріңіз. Бұл жағдай оң жақта 2-суретте бейнеленген.Ескертуді бұл көрсеткіш ретінде енгіземіз. Тіктөртбұрыштардың ұқсастығын ескере отырып, біз:

\ [BE = \ dfrac1y, \ AD = xy. \]

Квадраттың жағы тең болғандықтан, теңдікке ие боламыз:

\ [y + \ dfrac1y = 1 + x = xy. \]

Оң жақ теңдік сізді білдіруге мүмкіндік береді y:

\ [y = \ dfrac {1 + x} %, \]

содан кейін теңдеу сол жақ теңдеуден алынады

\ [\ dfrac {1 + x} % + \ dfrac % {1 + x} = 1 + x. \]

Оны қайта жазуға болады

\ [x ^ 3-x-1 = 0.]

Бұл текше теңдеуінің бір шын түбірі бар (\ rho \ approx1 {, 3247 \ ldots \), сондықтан бұл іс іске асырылады. Осылайша, тік төртбұрышқа квадратты кесудің үш жолы бар.


Кейінгі сөз

Дәл шешімдер формулалары текше теңдеулерімен белгілі болғандықтан, тамырдың бар екеніне сенімді бола аласыз, ол бір. Радикалдарда бұл сан келесідей жазылады:

\ [\ rho = \ dfrac {\ sqrt [3] {108 + 12 \ sqrt %} + \ sqrt [3] {108-12 \ sqrt %}} %. \]

Ол сондай-ақ бір-біріне салынған радикалдардың шексіз дәйектілігі түрінде жазылуы мүмкін:

\ [\ rho = \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {\ ldots}}}} \

Бір қызығы, бұл нөмірдің өз атауы бар: голланд сәулетшісі (жартылай вахта) Ханс Ван дер Лан оны пластикалық нөмір (пластикалық нөмір). Ван дераан көп ғимараттар жасамады, негізінен бұл шіркеулер еді, бірақ оның теориялық жұмысы белгілі бір салмаққа ие болды. Атап айтқанда, ол ғимараттың элементтері арасындағы үйлесімді қарым-қатынас теориясы,онда пластикалық нөмір орталық рөлді ойнады.

Сурет. 3 Ғимараттар Ханс ван дер-Ланмен жасалған. Сол жақта: Швецияның Тумель қаласындағы Бенедиктин монастырі. Оң жақта: Маастрихте, Нидерландыдағы аббатство. Сайт divisare.com сайтындағы фотосуреттер

Оның идеясындағы мұндай атау бұл санның геометриялық «пішіні» болуы мүмкін екендігін көрсетеді. Мәселедегі осындай үлгідегі бір мысалмен кездестік. Тағы бір мысал келесідей болады. Бүйірлік ұзындығы әртүрлі мөлшердегі қораптардың шексіз жеткізілуі (төртбұрышты параллелепипедтер) бар дейік. 1 × 1 × 1 ұяшығынан бастайық, қораптың жағына осындай басқа қорапты бекітіңіз – біз 2 × 1 × 1 қорапшасын аламыз. Біз оған 2 × 2 × 1 қорапты алу үшін бірдей қоямыз. 2 × 2 × 3 ұяшығын жасау үшін 2 × 2 × 2 ұяшығына төменгі жағына бекітіңіз. Содан кейін келесідей әрекет етуіңіз керек: жаңа бокаларды бүйір, алдыңғы, төменгі жағынан кезекпен орналастырыңыз және олардың өлшемін екі өлшемдер (бұл келесі ұяшықтың бетінің өлшемдері болып табылады) ағымдағы жәшіктің өлшемдеріне сәйкес келеді, ал үшінші өлшем – ол өзгерді өлшеу екі «жылжытады» бұрын. Алғашқы қадамдар 4-суретте көрсетілген.Мысалы, оң жақта бесінші «жылжыту» 2 × 2 × 3 қорапты және оның «ұзындығы» (бұл суреттегі көрсеткілер бойынша өлшеу) 2-де, себебі екі жолдың қаптамасы «ені» 2-ге тең болғандықтан (бұл дұрыс терезе) жоғарғы жолда).

Сурет. 4 «Пластикалық» қорапты құру. В. В. Де Спинадель, А. Р.Буитраго Ван деранның ұшақтың пластмасса нөміріне

Егер сіз осы процесті жалғастырсаңыз, қораптың көлемі әрине өседі. Бірақ олардың тараптарының қарым-қатынасы («көршілес» ұзындығы 4-суретте көрсетілгендей) пластикалық нөмір болып табылатын соңғы шекке бейім болады.

Мақсаттың негізі мынада. Жәшіктердің өлшемдері көрші сандардың үштен бірі 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, … nосы тізбектің мүшесі Рnсодан кейін n > 3 теңдікке ие Рn = Рn−2 + Рn−3. Дәлірек айтқанда, бұл жүйелі қайталану қатынасы Padovan дәйектілігі деп аталатын осы тізбекті анықтайды. Демек, оның қайталанатын дәйектілігінің жалпы терминін оның тән полиномының тамыры арқылы білдіруге болады. Бұл сілтемелер үшін сіз осы тақырып туралы көбірек біле аласыз, енді осы тізбектің тән многочлені: \ (x ^ 3-x-1 \) және оның нақты түбірі, ρ. Сондықтан, осы санның өкілеттіктерінің тізбегі 1, ρ, ρ2, ρ3, … бірдей қайталану қатынасын қанағаттандырады (бұл байқау шын мәнінде многодинамның тамыры арқылы дәйектілік терминін білдіру әдісіне әкеледі). Бұл многочлена екі күрделі тамыры бар. Егер олар арқылы белгіленсе q және с, содан кейін кейбір тұрақты а, б, с теңдік Рn = аn + bqn + csn барлық табиғатқа қатысты болады n. Бірақ күрделі тамыры болғандықтан q және с модуль 1-ден аз, олардың градусы нөлге ұмтылады n.

Бұл мағынада Padovan дәйектілігі үшін пластикалық нөмірі Fibonacci дәйектілігі (және Pell нөмірлері үшін күміс бөлімі) үшін басқа (және одан да көп танымал) «архитектуралық» сан – алтын бөлік сияқты бірдей.

Пластикалық нөмірлердің қасиеттері туралы қосымша мақалада В. В. Де Спинадель, А. Р.Бюрито Ван дер-Ланға қатысты жазылған.


Like this post? Please share to your friends:
Leave a Reply

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: