«Қатты» төсеніштер • Хайдар Нурлигареев • «Элементтер» бойынша танымал ғылым тапсырмалары • Математика

«Қатты» қапсырмалар

Тапсырма

Ұшақты бірдей үшбұрышты плиткамен қиыстыру оңай (1-сурет, сол жақта). Мұндай схема кез келген үшбұрыш үшін қолайлы. Бұл плитка үшбұрыштың пропорцияларын біршама өзгерткенде (олар әлі де тең болуы керек) мағынасында «қатаң емес» деп айта аламыз, сол кезде осы схема бойынша жазықтықтың қаптамасын қайтадан аламыз (1-сурет, оң жақ).

Сурет. 1.

Бірақ бұл басқа жолмен жүреді. Суретке қараңыз. 2: мұнда да барлық үшбұрыштар бірдей, бірақ бұл схема тек үшбұрыштың нақты нақты үлестері үшін ғана жұмыс істейді. Мұндай қаттылық «қиын» деп айтуға болады.

Сурет. 2

а) Мысалы, күріштің барлық үшбұрыштары. 2 тең табу олардың бұрыштары мен аспекттері. Оны дәлелдеубұл фигурадан олар біржақты түрде анықталады.

б) Келіңіздер тең дөңес төртбұрыштың «қатты» қаптамасы.

c) Келіңіздер «Пентагондар» (міндетті емес дөңес емес) «қатты» қаптау.


1-кеңес

а) Үшбұрыштың бұрыштарын қанағаттандыруы керек жағдайды алу үшін, әрбір шыңға іргелес бұрыштардың сомасы 360 ° болатындығын пайдалану жеткілікті. Және тараптардың жағдайын іздеу үшін іргелес үшбұрыштың бірнеше жағынан қалыптасқан сегменттерді қарастырған жөн.

Назар аударыңыз, бұрыштар мен тараптар бір-бірінен тәуелсіз өзгере алмайды, олар бір-бірімен байланысты. Сонымен қатар, бұрыштар мен аспекттің қатынасы арасындағы қатынас бір-бір. Шын мәнінде, кадр пішімін біле отырып, косин теоремасының бұрыштарының мәндерін анықтауға болады. Және бұрыштарды біле отырып, синус теоремасының арақатынасын таба аласыз. Осылайша, проблеманы шешу үшін екі жаққа немесе бұрыштарға екі теңдеуді табу жеткілікті.


2-кеңес

б), c) Негізгі идея мынада. Шатырдың «қатал» болуын қамтамасыз ету үшін оған енгізілген бір тақтайдың көшірмелері бір-бірімен мүмкіндігінше әр түрлі жолдармен байланыста болуы керек. Содан кейін әрбір осындай әдіс бұрыштар мен жақтары үшін кейбір теңдеу береді, ал одан көп теңдеулер – аз дәрежеде еркіндік дәрежесі.

Бір-біріне әртүрлі тәсілдермен қолданылуы мүмкін осындай плитаны салудың бірнеше тәсілдері бар. Солардың бірі – тақтайшада кейбір тән шектеулер қою. Мысалы, оны параллель жақтары бар полигондар тобында іздеңіз. Немесе бір-біріне тең келетін тақтайшалар арасында. Сондай-ақ, бұрыштарды 360 ° деп бөлетін және олардың бірнеше еселігі қарастырған дұрыс.

Тағы бір ықтимал тәсілі – мысалы, сур. 3. Содан кейін, сіз бірнеше тақтайшалардан немесе түпнұсқаның төсегіне қосылған тақтайшалардан жаңа плитка жасауға тырысыңыз. Ал содан кейін ғана пайда болған тақтайшалардан «қатты» төсемді салу үшін, оның контурларында түпнұсқа төселгісі болжанатын болады.

Сурет. 3


Шешім

а) 3-суретте сол жақта көрсетілгендей, үшбұрышты плитаның бүйірлерін және бұрыштарын белгілеңіз. 4. Содан кейін төртбұрыштың тараптарынан қалыптасқан сегментті (4-суреттің ортасында) қарау тараптарға қатынауға мүмкіндік береді: а + с = 2б. Ал үш үшбұрыштың жоғарғы жағына қарап (оң жағында 4-суретте) 2γ = 180 ° екенін түсінеміз. Осылайша, γ = 90 °, яғни үшбұрыш тікбұрышты. Демек, ол пифагорлық теореманы қанағаттандырады: (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2.)

Сурет. 4

Енді қарапайым есептеулерді қажет қатынастарды табу үшін:

\ [(a + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

Бұл жерден аламыз

% c} = \ dfrac % % \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % %. \]

Тиісінше, үшбұрыштың бұрыштары бірдей (\ alpha = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ beta = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ {\ circ).)

б) Төртбұрышты трапецияны квадрат пен оң жақ үшбұрыштан, яғни осы квадраттың тең бөлігіне теңестіріңіз (5-сурет, сол жақта). Бұл трапецияның көшірмелері әртүрлі тәсілдермен бір-біріне бекітілуі мүмкін.Өткізгішті «қиын» болғымыз келгендіктен, басталу үшін біз бүйірлік қатынастарды және трапеция бұрыштарын бірегей түрде анықтайтын көрсетілген трапеция плиталарынан осындай конфигурацияларды жасауымыз керек. Бұл оңай. Мысалы, суретте көрсетілген төрт тақта суреттерін салыңыз. 5 теңдігі γ = δ = 90 ° теңдікке қол жеткіземіз және сегіз плитадан крест жасаған кезде α = 45 ° жағдайын аламыз. Егер үш плитадан 3-суретте көрсетілген суретті жинап алсаңыз. 5 оң жақ, содан кейін теңдік 2а = б.

Сурет. 5

Төрт жақтан жоғарыда аталған төрт теңдікті қанағаттандыратын болса, онда бұл, әрине, біздің тікбұрышты трапецияны білдіреді. Сондықтан, жоғарыда аталған барлық конфигурациялар кездесетін кез келген төсеніш, әрине, кез-келген төртбұрыштан плиткаларды бүктеу мүмкін емес, сол схемаға сәйкес, «қиын» болып табылады. Көптеген ұқсас тақта бар; мысалы, күріш. 6

Сурет. 6

Айта кету керек, бұл фиг. 6 «қатты» түсінігімізге сәйкес, ол оңай деформацияға ұшырайды: плиталарды еркін жылжытуға болады,тиісті тік сызық бойынша бірдей көлденең немесе тік қатарда орналасқан. Бұны басқа жолмен қосу арқылы болдырмауға болады. Мысалы, күріш. 7

Сурет. 7

c) Күріштің қақ ортасында, күріш. 6 және сурет. 7, сіз квадраттардың стандартты паркетін біле аласыз (3-сурет, оң жақта). Осындай жолмен неконвесстік емес пентагондардың «қатты бейнесін» негіз ретінде тұрақты үшбұрышпен қаптауды қалай пайдалана алатынымызды көрсетеміз (3-сурет, сол жақта). Мұны істеу үшін екі тұрақты үшбұрыштан және осындай үшбұрыштың тағы екі бөлігінен тұратын плитаны алыңыз (8-сурет, сол жақта).

Сурет. 8

Алдыңғы абзацдағыдай, біз біртұтас деп санайтын тақтайшаны анықтайтын төрт конфигурацияны алдымен анықтай аламыз. Олар суретте көрсетілген. 8. Алғашқы бұрышы ε = 90 ° орнатады. Екіншіден, 3γ + 2ε = 360 ° қатынасын жазуға болады, өйткені ε бұрышы γ қазірдің өзінде бекітілген, біз γ = 60 ° аламыз. Сол сияқты, үшінші конфигурация α + γ + 3ε = 360 ° теңдігін береді, мұндағы α = 30 °. Ақыр соңында, соңғы конфигурация β + 2γ = 360 °, яғни β = 240 ° екенін түсінуге мүмкіндік береді. Бұрыш δ болсақ, ол бесбұрыштың бұрыштарының сомасы 540 °, ал = 120 ° болғандығына байланысты анықталады.

Сурет. 9

Көрсетілгендей, тек конфигурация ортасында көрсетілген. 8, теңдік үшін жеткілікті б = e = а = d. Сондықтан, жоғарыда аталған төрт конфигурация бесбұрышты плитаны шынымен анықтайды. Осылайша, бәрін қамтитын қаптау үлгісі берілмейді. Оны құрастырған кезде, жолақтар салу идеясы көмектеседі: алдымен біздің плиткалардың көшірмелерімен өзімізге қолданылатын шексіз жолақ жасаймыз (9-сурет). Содан кейін біз бүкіл жазықтықты осындай жолақтармен жабамыз (10-сурет). Жолақтарды жобалау идеясының кеңінен қолданылатындығын атап өткіміз келеді: ұқсас «жолақ» құрылымы нүктені шешу кезінде салынған б)және тұтастай алғанда кез-келген мерзімді тротуар, шын мәнінде, топтардан тұрады. Дегенмен, бұл жағдай мерзімді төсеніштермен шектелмейді (мысалы, Polamimina Parqueta мәселесінде байқалуы мүмкін).

Сурет. 10

Біздің мысалда мозаика дөңес емес, бірақ бұл «қатты төсеу» жасау үшін мүлдем міндетті емес. Суретте көрсетілген бесбұрыш тақтайшаны қарастырайық. 11 – 22,5 ° бұрышпен квадрат және екі оң жақ үшбұрыштан тұрады.Осындай плитаның көшірмелерін суреттегі оң жағында көрсетілгендей, «қатты жол» жазықтықта қоюға болады. 11. Шынында да, бұл біз бұрын кездесетін тильстің «қаттылығын» дәлелдеуден әлдеқайда қиын. Дегенмен, осы дәлелдің негізгі ұғымдарын келтірейік.

Сурет. 11

Ең алдымен, плиталар жинақталған сызба бойынша, тараптар қатынастарды қанағаттандырады а = e = б және с = б + d. Бұрыштарға қатысты оларға төрт теңдеулер жасалуы мүмкін, оның α = γ, δ = ε, β + δ = 180 ° және β + 180 ° = 2γ екендігі анық. Демек, φ = δ / 2 бұрышын енгізу арқылы басқа бұрыштарды осы арқылы білдіруге болады:

\ \ \ varphi, \ quad \ beta = 180 ^ {\ circ} -2 \ varphi, \ quad \ gamma = 180 \ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ delta = 2 \ varphi, \ quad \ varepsilon = 2 \ varphi. \]

Енді негізгі идея мынада. Кілемнің «қатал» болуы үшін оған еркіндік дәрежесі жетіспеуі керек. Қазіргі уақытта біздің тақтамызда біз өзгере алатын екі параметр бар: бұрыш φ және арақатынасы а және d. Алайда, бұл өзгерістер еркін бола алмайды, өйткені параметрлер өзара байланысты. Егер осы байланыстың сипатын талдап шыққаннан кейін, біз осы схемаға мүмкін бұрыштар мен аспекттің қатынасының соңғы саны ғана көрсетілсе, онда ол қалаған тақтайшаның «қиын» екенін дереу қадағалап отырады.

Төменгі сол жақта көрсетілгендей белгілерді сур. 11. Өйткені CDEF – екі жақты трапеция, содан кейін базалық

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi)).

Сондықтан сегменттердің арақатынасын таба аламыз а және dсегментті білдіретін Bf косин теоремасы үшбұрыштарда ABF және КБФ:

\ [Bf ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2-2d ^ 2 \ cos (180 ^ {\ circ} – \ varphi) = a ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) 2-2а ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Трансформациялау, біз аламыз

\ [\ dfrac {d ^ 2} {a ^ 2} = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

Екінші жағынан, сегменттердің қатынасын табуға болады а және dсегментті білдіретін AC косин теоремасы үшбұрыштарда ABC және AFC:

\ [AC ^ 2 = a ^ 2 + d ^ 2-2ad \ cos (180 ^ {\ circ} -2 \ varphi) = \ = d ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi ) ^ 2-2ат (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Егер \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), яғни егер бес бұрыш бізден өзгеше болса, біз келесі теңдікке келеміз:

{2 \ cos ^ 2 \ varphi-1} = – \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} {\ dfrac % {\ cos2 \ varphi}. \]

Атап айтқанда, мұнда тек \ (\ cos2 \ varphi <0 \), және

\ [5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 (\ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2} {(2 \ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2}. \]

Соңғы теңдеуде шешімдердің тек соңғы саны болуы мүмкін. Осылайша, төселген алаң «қиын».


Кейінгі сөз

Жоғарыда талқыланған барлық қапсырмалар, осы міндеттің бір бөлігі ретінде, негізінен бір полигоналды плитаны пайдаланады. Біз бұл плитканы көшіріп алып, барлық ұшақты бос орынсыз және қабаттаспай көшірген болатынбыз. Мұндай төсеніштер деп аталады моноэдрлықжәне негізгі полигон болып табылады протоплитка. Біз көргеніміздей, түрлі типтегі тақтайшаларды пайдалануға тыйым салынғанына қарамастан, алынған кескіндер өте әртүрлі болды. Көптеген жағдайларда бұл протоплитпен қапталған тегістеу шексіз көп болады, сонымен қатар олардың сансыз сандары. Сонымен қатар, басқа протопластер үшін (мысалы, әдеттегі алтыбұрыш үшін), тақтайшалар бірегей, ал кейбір протоплоттар мүлде жалюға жол бермейді.

Ұшақты өз көшірмелерімен қыстыруға болатынын білу үшін, берілген полигонның нысанын қалай анықтау керектігін сұрастыру табиғи болар еді. Дегенмен, бұл сұраққа жауап беруге мүмкіндік беретін алгоритм кіре берісте плитаны алды, ал нәтиже «иә» немесе «жоқ» нәтижесін берді, адамзатқа белгісіз. Сонымен қатар, ол негізінен бар деп күмәндануға елеулі себептер бар. Бұған қандай кедергі болуы мүмкін екенін қысқаша талқылайтын боламыз. Бұл үшін, ең болмағанда, төсеніштердің симметриялары тобымен танысу пайдалы болады.

Симметрия Бұл қаптау жазықтықтың осындай қозғалысы деп аталады, ол бұл қаптаманы өз алдына аударады. Дөрекі айтқанда, егер сіз ұзақ уақытқа созылып келе жатсаңыз,бірақ артқы жағында барлық тақтайшаларды жылжытып, біріншіден, плиталар арасындағы қашықтық сақталып, екіншіден, сіз бұрылып, айырмашылықты таба алмайсыз – бұл симметрия. Егер паралельдің барлық симметриялары арасында параллель аудармалардың екеуі жоқ болса, онда бұл шілдер деп аталады мерзімді. Мысалы, фиг. 6, 7, 10 және 11, және біз әлі күнге дейін талқылаған барлық қыстырғыштар. Дегенмен, барлық осы мысалдарда, бұл сипат бұдан былай жарамсыз болу үшін плиталарды қайта реттеу оңай.

Мерзімді қапсырмалар деп аталатындар бар іргелі аймақ – барлық тротуардың осы ішкі жиынның параллель аударымдары арқылы алынуы мүмкін плиткалардың осындай жиынтығы (бұл шешімде айтылған біздің «топтарымыз» ғана). Сондықтан, осы протоплияның көшірмелерімен бірге барлық ұшақты толтыруға бола ма деген сұраққа жауап беруге тырысып жатқанда, келесідей әрекет ету өте табиғи. Плиткалардың бір-бірімен қосылуы үшін барлық мүмкін нұсқалардан өту керек, ал егер бір сәтте іргелі аймақ пайда болса, онда қаптама бар.Егер біз барлық опцияларды тізімдейтін болсақ, бірақ біз іргелі аумақты таба алмасақ, онда бұл протоляция қаптауға мүмкіндік бермейді.

Алайда, бұл іздеу әдісі елеулі кемшіліктерге ие. Кенеттен біздің протоплика болды апериодты, яғни бүкіл ұшақты оның көшірмелерімен толтыруға болады, бірақ бұл барлық тақталар периодикалық емес пе? Содан кейін плиткаларды біріктірудің барлық жолдары біз ешқашан өтпейміз, өйткені олар өздігінен үлкен көлемді жабады. Бірақ біз де іргелі аймақты таба алмаймыз, өйткені мерзімді тегістеу жоқ. Сондықтан, біз опцияларды шексіздікке жеткіземіз және ешқашан тоқтамаймыз.

Aperiodic протоплоттары бар ма, ол белгілі бір белгісіз – бұл фактіні постуландыру гипотеза әлі дәлелденбеген. Сонымен, жоғарыда келтірілген алгоритм бізге бұл протоплит негізіндегі жол салу мүмкіндігі бар ма деген сұраққа жауап берудің ықтималдығы бар. Дегенмен, үш өлшемді кеңістікте ұқсас болжамдар да оң шешімін тапты және Лобачевского жазықтықта да. Сонымен қатар, қолданылған протоплилердің санын екіге көбейту керек, себебі біз бірден апериодтық жиынтығын – танымал Пенроуз мозаикасын (мысалы, 12) көреміз.

Сурет. 12 Пенроуз әшекейі.Ru.wikipedia.org сайтынан сурет

Егер белгілі бір плитадан түсіну әрдайым мүмкін бе, сенімділік жоқ болса, ол жазықтықтың төсенішін мойындайды ма, жоқ па, сіз аз жалпы жағдайды қарастырып көріңіз және протопликада қандай да бір шектеулер енгізіңіз. Ең алдымен, қаптаманы құрайтын барлық полигондар дөңес. Бұл жағдай өте күшті болып шығады: дөңес протолдың беткейлерінің саны жағынан 6-дан аспайды. Алайда мұнда да елеулі қиындықтар бар.

Сурет. 13

Барлық ұшақтың кез-келген үшбұрыштың, сондай-ақ кез-келген төртбұрыштың көшірмелерімен көшірілгеніне көз жеткізу оңай – мұнда тіпті дөңес жағдай қажет емес (13-сурет). Дегенмен, пентагондармен барлығы қарапайым емес. Пентагондардың моноэдральды қаптамаларын зерттеу бай тарихы бар, және қазір бұл тапсырманың логикалық қорытындысын тапқанына толық сенімділік жоқ. Әлбетте, Карл Рейнхард алғаш рет 1918 жылы жіктеліп, дөңес бес бұрышты тақтайшалардың бес түрін белгілеген (14-сурет). Әрбір типті тараптар мен бұрыштарда белгілі бір шарттармен сипатталды, алайда бұл белгілі бір еркіндікті қалдырды – бұл барлық «қаттылықсыз» болды.Жарты ғасырдан кейін, 1968 жылы, Ричард Киршнер әлемдегі барлық сегіз түрлердің бәрі таусылғандығын мәлімдеп, тағы үш түрлі типтегі төсеніштерді ашты. Дегенмен, ол қателеседі: 1975 жылы Ричард Джеймс атақты танымал ғылым таратушы Мартин Гарднердің мақаласын оқығаннан кейін басқа түрді тапты. Бірақ келесі екі жылда нақты прогресті сол мақаланы оқыған үй шаруасындағы әйел Маржори Райс жасады – төрт дана дөңес пентагонмен моноэдральды қыстырғыштардың төрт жаңа түрін тапты.

Сурет. 14 Пентагондар арқылы ұшақтың 15 моноэдральды қаптамасы. Forbes.com сайтынан сурет

Алайда, бұл оқиға аяқталмады: он төртінші тротуар Ролф Стейнмен 1985 жылы табылды – барлық бұрынғыдан айырмашылығы – «қатаң». Ал отыз жыл өткеннен кейін, компьютерлік есептеулерді пайдаланып Кэйси Манн, Джениффер МакЛеод және Дэвид фон Дюриден тұратын зерттеушілер тобы он бесінші жолды тауып алды, бұл да еркіндік дәрежесі болмады. Соңында, 2017 жылы Майкл Рао басқа бес бұрышты төсеніш жоқ екенін дәлелдеді. Дегенмен, оны дәлелдеу үшін Рао ғылыми қауымдастықтың белгілі бір сцептицизмін тудыратын арнайы жазылған компьютерлік бағдарламаны пайдаланды, бірақ ол дербес түрде ойналып, тексерілді.

Монохедральды қаптамалардың жіктелуіне тағы бір көзқарас, біз симметриялы топқа қатысты плиткалардың қасиеттеріне назар аударуымызға негізделеді. Егер тротуардағы кез-келген екі тақтай үшін екінші тақтадағы екінші симметрия болса, онда мұндай жабын деп аталады изоэдрлық. Тұтастай алғанда, қоқыс жинау туралы айтады k-изоэдралыегер оның плиталары жиынтығы бұзылған болса k симметрия тобының әрекеті бойынша сыныптар. Мысалы, фиг. 13-і изохирленген, себебі әрбір плита кез-келген басқа түрге немесе параллельді трансформациялау арқылы (мұндай тақтайшалар бір түсті боялған) немесе айналу арқылы (әртүрлі түстермен боялған сияқты) ауыстырылуы мүмкін. Күрішті төсеу. 11-дің 2-изоэдралы: сары боялған тақтайшалар бір-біріне айналдыра алады, осылайша қапшық бір-біріне аударылуы мүмкін, бірақ көк плитаны сарыға аударуға болмайды. Сондай-ақ, шешімде көрген басқа қыстырғыштар да бар kәртүрлі -сойедралы k. Мұны көру үшін, біз оларды плиткаларды бір-біріне параллель симметрия арқылы аударуға болатындай етіп қайта өңдейміз.олар бір түсте боялған кезде (бұл түсінікті болғандықтан, 3-изоэдраль) шарты төңірегінде болды. Осыны жасай отырып, біз олардың біреуі үшін көреміз k = 8 (сурет 15, сол жақта), екіншісі үшін k = 16 (сурет 15, оң жақта) және үшіншіден k = 10 (төмендегі сур. 15).

Сурет. 15

Дуармалы полигондар арқылы Исаедральды торлар жіктелуі мүмкін. Мәселен, барлығы қол жетімді:

  • 14 үшбұрышты плиталар,
  • 56 дөңес төртбұрышты плиткамен тегістелген,
  • 24 дөңес бесбұрыш тақтайшалармен изоедральды қаптау,
  • 13 тікбұрышты гексагональдық плиткамен тегістелетін изоедральды қаптау.

Негізінде, олар «қатты емес» (сурет 13-суретте көрсетілгендей). Бірақ олардың кейбіреулері деформация кезінде изоэдралды болып қалады. Мәселен, мысалы, фиг. 16: Көлденең жолақтарды бір-біріне салыстыруға болады, бірақ содан кейін көлденең негізі бар үшбұрыш симметрияға бейім базасы бар үшбұрышқа айналмайды.

Сурет. 16

Жіктеу k– изоедральды қапсырмалар k > 1 мүмкін. Дегенмен, дөңес емес тақтайшалары бар тақтайшалар үшін бұл әлдеқайда күрделі, ал 2-изоедральды қапшықтардың жағдайы бүгінде көптеген виртуальды нұсқаларға байланысты қиынға түседі. Ал үлкен құндылықтар туралы k біз тіпті сөйлей алмаймыз.


Like this post? Please share to your friends:
Leave a Reply

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: