Кірпіштің үшбұрышы • Константин Кнооп • «Элементтер» бойынша танымал ғылым міндеттері. • Математика

Кірпіш үшбұрыш

Тапсырма

Құрылыс алаңында қызыл, сары және сұр түсті кірпіш қаланды. Құрылыс командасының шебері жұмысшыларына келесі ережеге сәйкес үшбұрышты қабырға салуды бұйырды: төменгі қатарға арналған ұңғылыдан 10 еркін кірпішті алыңыз, содан кейін сол түсті кірпішті сол түсті кірпішке салыңыз да, түрлі-түсті кірпішке бірдей түсті кірпіш қойыңыз (мұндай пирамиданың мысалы суретте көрсетілген). ).

Нәтижесінде жоғарғы жолда тек бір кірпіш пайда болады. Бригада-математик төменгі қатардағы кірпіштен қарап, әрдайым жылдам және дәл түстердің қандай түске түсетінін болжайды. As қалай ол мұны істей ме?


1-кеңес

Төменгі жолды біле отырып, сіз бұл тастан жасалған барлық жолдардың суретін түсіре аласыз (және құрылысшылардың оны қоюға уақытыңызды жылдамырақ етеді). Бұл әдіс математика үшін жеткіліксіз (әрі жылдам емес) деп белгілейік.


2-кеңес

Белгілі түстер маңызды емес екені анық. Түстердің орнына сіз сандарды пайдалана аласыз, мысалы, 0, 1 және 2. Жаңа кірпішті «қосу ережелері» қалай жазылады? Әрине ұқсас жұп санға сәйкес болуы керек екені анық: (0, 0) → 0; (1, 1) → 1; (2, 2) → 2. Әртүрлі нөмірлердің парамі үшіншіге сәйкес келеді: (0, 1) → 2 және т.с.с.Барлық осы жазбаларды бір планшетте жазуға болады:

012
0021
1210
2102

Бұл кестеде келтірілген мәндерді кестеге емес, өзгеше түрде орнатуға болады ма? Көруге болады. Мысалы, кестеде келтірілген бірліктер жұптарға сәйкес келеді (0, 2), (1, 1) және (2, 0) – 2-ге тең сандар. Олар жұптың (0, 1), (1, 0) және (2, 2) – жұптың 1 немесе 4 болып табылатынына сәйкес келеді. Соңында, нөлдер жұптарға (0, 0), (1, 2) және (2, 1) – 0 немесе 3-ге тең болатын адамдарға. Бұл «немесе» аздап шатастырады: егер ол болмаса, мысалы, 3 сомасының 0-ге тең екенін білсеңіз, 1 сомасы 2-ге тең, ал 2 сомасы 1-ге тең болса, онда біз жай ғана формула формуласын жазамыз: нөмірі3 = 3 − (нөмірі1 + нөмірі2). Нәтижесінде, бұл ереже біршама қиын болады нөмірі3 ол болмайды, содан кейін сіз 3-тен немесе одан алып тастауыңыз керек. 3. Бірақ бұл өте маңызды емес. Ең бастысы, барлық жағдайларда келесі кірпіштің түсі анықталады сомасы бойынша оның астында тұрған кірпіштің түсі. Бригаданың оны қалай қолданатынын ойлап көріңіз.


Шешім

Формуланың орнына «нөмірі3 = 3 – (нөмірі1 + нөмірі2) «, 2-кеңесте көрсетілгендей қарапайым:»нөмірі3 = – (нөмірі1 + нөмірі2) «.Ақыр соңында нәтижеге 3 немесе -3 қосу қажет болуы мүмкін, сондықтан біз үш есе бұл қосылымды / түсіруді бірден жасамасақ, бірақ «кейінге қалдырыңыз».

Төменгі (10) қатарда 10 нөмірге сәйкес келетін кірпіш бар делік: а, б, с, d, e, f, g, с, i, j. Біздің формула сізге бүкіл 9-шы серияны дереу жазуға мүмкіндік береді:

(9-жол) – (а + б), -(б + с), -(с + d), -(d + e), -(e + f), -(f + g), -(g + с), -(с + i), -(i + j).

Бірақ сегізінші қатар да жазылады: сандар үстінде – (а + б) және – (б + с) жазба нөмірі болуы керек – (-аббс) = а + 2б + с. Осылайша, қос кемшіліктер азайып, сегізінші қатар:

(8-жол) а + 2б + с, б + 2с + d, с + 2d + e, d + 2e + f, e + 2f + g, f + 2g + с, g + 2с + i, с + 2i + j.

Бұдан әрі қарай қарастырамыз. Жетінші қатардағы сандар – ((а + 2б + с + б + 2с + d) = -(а + 3б + 3с + d). Мұнда, бәлкім, біз барлық үштікті кейінге қалдыруға және үш есе азайтуға келіскенімізді еске алудың уақыты келді және 3б және 3с, көпше 3. Осылайша, жетінші қатардың бірінші саны – (a + d) тең деп есептей аламыз. Сонда барлық сериялар бірдей жазылуы мүмкін:

(7-жол) – (а + d), -(б + e), -(с + f), -(d + g), -(e + с), -(f + i), -(g + j).

Бұдан кейін бізде 6-жол бар, онда қос минус қайтадан төмендетіледі:

(6-жол) а + б + d + e, б + с + e + f, с + d + f + g, d + e + g + с, e + f + с + i, f + g + i + j.

Бірнеше 5 минус қайтадан пайда болады (бірінші мүшені орындаңыз, содан кейін барлығы бірдей):

(5-жол) – (а + 2б + с + d + 2e + f), -(б + 2с + d + e + 2f + g), -(с + 2d + e + f + 2g + с), -(d + 2e + f + g + 2с + i), -(e + 2f + g + с + 2i + j).

4-жолда екі минус пен бір қатар терминдер азаяды, олар үшін коэффициент 3 болды: орнына а + 3б + 3с + 2d + 3e + 3f + g біз кетеміз а + 2d + g:

(4-жол) а + 2d + g, б + 2e + с, с + 2f + i, d + 2g + j.

Кірпіктер, олармен және есептеулермен салыстырғанда, азаяды:

(3-жол) – (а + б + 2d + 2e + g + с), -(б + с + 2e + 2f + с + i), -(с + d + 2f + 2g + i + j);

(2-жол) а + 2б + с + 2d + 4e + 2f + g + 2с + i, б + 2с + d + 2e + 4f + 2g + с + 2i + j.

Соңында, жоғарғы қатардағы кірпіш:

(1-жол) – (а + 3б + 3с + 3d + 6e + 6f + 3g + 3с + 3i + j) = -(а + j).

Бұл нәтиже нені білдіреді? Үстіңгі кірпіштің түсі төменгі қатардан тек екі түстің қосындысымен анықталады, яғни екі төтенше кірпіштің түстері. Сонымен қатар, құрылысшылар әрбір келесі кірпішті салатын сол ереже бойынша анықталады: бірдей түстің екеуі сәйкес, ал қалған түстер екі түрлі түске сәйкес келеді. Әрине, бригадир-математик кірпіш үшбұрышын салу сәтінде тек төменгі қатардың шеткі кірпіштеріне ғана қарап, барлық есептеулер мен жеңілдетулерді (аяқталған нәтижеге дейін) жасады.


Кейінгі сөз

Мен оқырманға «фокус-итеру» сезімін сақтау үшін ең қарабайыр алгебраның шешімін басқаруға тырыстым. Дегенмен, қазір бұл фокустың мәнін біршама тереңірек түсіну керек.

Біріншіден, қандай да бір мағынада, сіз кемшіліктер туралы ұмытуға болады: біз көргеніміздей,минус бар сызықтар және оларсыз олар жай ғана баламалы, біз ең басынан бастап түсіндік, бұл жоғарғы жолда минус болады.

Екіншіден, біз пайдаланатын үш есе қысқарту (бірінші рет біз оны сегізінші жолда жасадық), бірақ ол есептеуді азайтады, ол мәнін жасырады. Егер біз мұны жасамаған болсақ, онда жетінші жолдағы пішіннің көрінісін көретін болар едік а + 4б + 6с + 4d + eкелесіде – а + 5б + 10с + 10d + 5e + f, тағыда басқа. 1, 4, 6, 4, 1, одан кейін 1, 5, 10, 10, 5, 1, одан кейін 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1? Математикада жақсы білетін немесе көп білетін кез келген адам осы тізбектерде таниды Паскаль үшбұрышы:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

Бұл үшбұрышта әрбір сан бір жолды жоғары тұрған екі санның қосындысына тең: тікелей және оған жақын орналасқан (сол жақта). Шын мәнінде мұнда Паскаль үшбұрышының пайда болуы бізді таңғалдырмауы керек; мысалы, 15 – коэффициент с тұрғысынан а + 6б + 15с + 20d + … – екі коэффициенттің сомасы бар: біреуі өрнектен алынған а + 5б + 10с + 10d + 5e + fал екіншісі – өрнек б + 5с + 10d + 10e + 5f + g. Басқаша айтқанда, бұл алдыңғы жолдың үшінші (10) және екінші (5) коэффициентінің сомасы.

Осылайша, біз қажет желіге қол жеткізе аламыз. Ондағы коэффициенттер – 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1.Себебі барлық екі коэффициент екі экстремалды бірлікті қоспағанда, 3-ке бөлінеді, бұл «фокустың» қажетті нәтижесін береді.

Енді сіз тағы бір табиғи қадам жасауға тырысып көріңіз және төменгі қатар кірпіштің ұзындығыныңN) бірдей амал жасайды ма? Біз жақсы нәрсені білдік N = 10 N = 4 (біз 1 3 3 1 сызығы екі төтенше шарттың сомасына тең екендігін көрдік). Ал құндылықтар қандай? Бұл сұрақтың математикалық эквиваленті: қандай жағдайда N барлық коэффициенттер (N – 1) – Паскаль үшбұрышының соңғы жолы, соңғы 3-тен көп емес? Бұл мәселе біздің бастапқы мәселемізге қарағанда әлдеқайда күрделі, алайда оған жауап, қарапайым қарапайым математикалық әдістермен алуға болады: N – 1 үшеудің күші болуы керек. Басқаша айтқанда, фокустау үшін ыңғайлы. N 28, одан кейін 82, 244, 730 және т.б. тең болады. Бұл мәселе бойынша, сондай-ақ мәселенің әртүрлі санына жалпылау үшін, Эрхард Беренд пен Стив Хампбдың «Үшбұрыштың құпиялары» («Үшбұрыштың құпиялары», PDF, 552 Кб), журналдың екінші нөмірінде жарияланған Математикалық интеллект 2013 жылы (do 10,1007 / s00283-012-9346-4).


Like this post? Please share to your friends:
Leave a Reply

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: