Рождестволық шыршалар мен шамдар • Константин Кноп, Евдий Эпифанов • «Элементтер» бойынша танымал ғылыми тапсырмалар • Математика

Рождестволық шыршалар мен шамдар

Тапсырма

Жаңа жыл қарсаңында үлкен, өте көп шаршы алаңда көптеген шырша, көптеген шырша орнатылып, шамдарға қарағанда көбірек Рождестволық ағаштар орнатылды. Бұл мүмкін бе? Әрбір ағаштан 1 метр қашықтықта барлығы 8 шам жарыққа шығады. (Рождестволық шырша мен шамдар нүкте деп саналады, ал ауданы тегіс.)


1-кеңес

Ия, мүмкін.


2-кеңес

Алдымен қарапайым жағдайда шешім қабылдауға тырысыңыз: әрбір ағаштан 1 м қашықтықта 2 шам бар, шырағдан артық ағаш болған кезде.


Шешім

Алдымен 2-кеңестен қарапайым жағдайды талқылаймыз. Шамдар 2 м жағымен шаршы торда орналастырыңыз, және екі іргелес шамдар арасындағы барлық сегменттердің ортасында Рождестволық ағаштар. Егер бір жағында болса N шамдар, содан кейін жалпы шамдар болады N2. Иолок 2N(N – 1), өйткені олардың жартысы тік сегменттерде, ал жартысы – көлденең. Қазірдің өзінде N = 3 ағаш шамдан көбірек болады. 1-сурет жағдайды көрсетеді N = 5: 25 шырша мен 40 жаңа жылдық шырша аумағында.

Сурет. 1.

Негізгі тапсырманы шешуде біз шамдардың орналасуын сақтаймыз және барлық Рождестволық шыршалардың (шартты қанағаттандырмайтындар, оларды алаңнан алып тастай алатын) сақтаймыз. Сонда не өзгеруі мүмкін? Парадоксикалық түрде өлшеу бірлігін өзгерту керек, яғни өлшеуіш. Жақында неге түсінікті болады.

Мысалы, ағаштар мен шамдар, жоғарыдағы бөлшектелген мысалдағыдай, үлкен жерде орналасқан. Алдымен, келесі сұраққа жауап берейік: мұнда дәл 8 шырша бар жаңа шыршада орталық бар шеңбер бар ма? Бұл ағаштың координаттың пайда болуын болжай аламыз, ал координат осі ең жақын шамдарды жалғастыратын сегменттерге параллельдей бастайды (абсцисса осі біздің ағашымыз тұрған сегментке қарай). Сонда шамдар форманың координаттары болады (2k + 1, 2л) мұнда k және л – бүтін сандар (шкала бірлігі – метр, біз әлі өзгерген жоқпыз). Пифагор теоремасына сәйкес, координаттары бар шамдан қашықтығы (2k + 1, 2л) ағашқа (2k + 1)2 + (2л)2. Мұндай сомалар бір-біріне әртүрлі бүтін сандарға тең болуы мүмкін (k, л). Мысалы, 12 + 82 = 72 + 42 = 65. Бұл нүктелердегі (7, 4) және (1, 8) шамдар ағаштан бірдей қашықтықта орналасқандығын білдіреді. (7, -4), (-7, -4), (-1, 8), (1, -8) нүктелерде орналасқан шамдар да сол қашықтықта орналасқан. , (-1, -8), барлық лампалар дәл 8 болады (2-суретте олар көк түспен көрсетіледі, анықтығы үшін шеңбер арқылы сызылады). Жалпы айтқанда, біз олардың сегізінен көп болмайтындығын дәлелдемедік, бірақ бұл қарапайым жаттығу оқырманға тәуелсіз шешім қабылдау үшін қалдырылады.

Сурет. 2

Енді уәде етілген «метрді өзгертуге» дайынбыз. Енді рұқсат етіңіз жаңа метр бұл шеңбердің радиусы болады, онда біз 8 шамды таптық. Содан кейін жеткілікті «шаршының ішіндегі» барлық Рождестволық ағаштар үшін 8 жарық шамасы орындалады. Енді «ішкі тереңдіктің» мәнін есептеу керек. Ағаш оң және сол жақта 7 «ескі метр» және одан жоғары 8 «ескі метр шамдар» бар. Квадраттың жағында шамдардың саны болса, онда осындай ағаштар көлденең сегменттерде орналасқан N? Біз жоғарғы және төменгі төрт жолдың ағаштарын және үш оң жақ және үш оң жақ сегменттің ағаштарын алып тастауымыз керек. Яғни, кез-келген көлденең жолда N – 7 шырша (және жоқ N – 1, бұрынғыдай), ал қазір осындай жолдар бар N – 8, жоқ N. Тік сызықтардағы ағаштар туралы да айтуға болады, сондықтан ағаштардың жалпы саны – 2 (N − 7)(N – 8). Теңсіздік 2 (N − 7)(N − 8)>N2 орындаған N ≥ 26 (3-сурет). Мұндай жағдайда N тапсырманың жағдайы орындалады.

Сурет. 3


Кейінгі сөз

Өз шешімімізде, біз жақын арада шифрланған қағаздағы шеңберлерде қарастырылған идеяларды пайдаланғанымызды ескеріңіз. Бұл тор сызықшасының тораптарының белгілі бір санынан өтетін шеңбердің шекаралас жазықтығын қалай іздестіруді егжей-тегжейлі сипаттайды.Сондай-ақ, біздің міндетімізді басқа жолмен шешуге болады: «Квест» кітабының М1129 мәселесін шешу.

Жалпы алғанда, белгілі бір қасиеттерді қанағаттандыратын жазықтықтағы соңғы нүктелердің конфигурациясының мәселелері өте көп. Менің ойымша, мұның бәрі біздікі сияқты «балалық» мәселелер болуы керек, бірақ көптеген осындай проблемалар өте күрделі және кәсіби математиктер айналысады. Математика саласы ұқсас мәселелерге арналған – комбинаторлық геометрия – ХХ ғасырда дамыған, және Пол Эрдоус бұл процеске үлкен үлес қосты.

Комбинаторлық геометрияның көптеген проблемалары олардың тұжырымдарының қарапайымдылығымен басып шығады. Мысалы: егер жиынтықтағы барлық нүктелер бір сызықта болмаса, дәл осы нүктелердің екеуінен өтетін сызық бар екенін дәлелдеу керек. Бұл Sylvester-Gallai теоремасының теоремасы, ол біраз уақыт шешілді. Дегенмен, жақсы мәселеге ұқсағандықтан, басқа да сұрақтар туындайды: бұл теоремада кем дегенде бір тікелей сызықтың дәл екі нүктеден өтіп кетуі керек екендігін айтады, өйткені мұндай тікелей сызықтар қанша болуы мүмкін? Бірнеше жыл бұрын осы мәселеге арналған мақаланы Терента Тао жариялады, ол тағы да қарапайым сұрақтардан ғылымның шетіне дейін жиі қысқа жол екенін көрсетеді.

Мәселе авторы және шешімдері: Константин Кноп
Жазушы авторы: Евтихан Епифанов


Like this post? Please share to your friends:
Leave a Reply

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: