Топтық теория - жетілу ғылымы. Топтық мысалдар

Топтық теория – Мәртебелі ғылым

Евгений Вдовин

  • Кіріспе
  • Кейбір бастапқы анықтамалар мен белгілеулер
  • Топ аксиомалары
  • Топтық мысалдар
  • Қорытынды

Топтық мысалдар

Бастауыш мектептен бізге белгілі топтардың мысалдары санмен рационалды, нақты, кешенді сандар, нөлдік емес рационалды, нақты, кешенді сандар көбейту арқылы саналады. Барлық осы топтардың абелевы. Топтардың тағы бір маңызды мысалы – келесі құрылыс. Келіңіздер X – Еркін жинақ пен симX – жинақтың биекциясының барлық түрлерінің жиынтығы X өзіңе қарай. Sym арқылы көбейтуді орнатыңызX композиция ретінде. Сонда симX композицияның жұмысына қатысты топ – бұл топ көптеген X симметриялық тобы немесе ауыстыру тобы (кейде ауыспалы топтың термині де пайдаланылады, бірақ біз үшін сәтсіз болып көрінеді, бұдан да төмен) Егер көп болса X әрине және |X| = nонда біз мұны қабылдай аламыз X = {1, … , n} және симX сим арқылы белгіленгенn. Егер Ψ композицияның құрамында сақталатын салыстырулардың сипаты болса, онда Sym тобындағы Ψ сипатын қанағаттандыратын салыстырулар жиынтығыX симум тобының кіші тобын қалыптастырадыX. Көрсеткіштердің құрамы ассоциативті аксиоманы (ГР1) қанағаттандыратындығын көрсетеміз (басқа аксиомаларды тексеру әлдеқайда қарапайым, олар биекцияның анықтамасынан туындайды).Карталардың құрамы ассоциативті екенін дәлелдеу үшін, карталардың тең болғанын бірінші кезекте түсіну қажет. Белгілі анықтамаға қарамастан, ол жиі қиындық тудырады. Сәйкестіктер φ : AB және ψ : AB (мұнда A, B – Еркін жиынтықтар) кез келгеніне тең болады x A оның кескіндері және тең. Енді рұқсат етіңіз φ, ψ, χ SymX және x X. Содан кейін x((φψ)χ) = (x(φψ))χ = (()ψ)χ, Басқа жақтан, x(φ(ψχ)) = ()(ψχ) = (()ψ)χбұл композицияның ассоциативті екендігін дәлелдейді.

Бұл мысал сізге көптеген топтарды құруға мүмкіндік бермейді (төмендегі барлық топтарды көреміз), сонымен қатар топтық теорияны қолданудың кең ауқымын көрсетеді. Кем дегенде кейбір симметрия (яғни, биекция) бар болса, топтар дереу пайда болады. Компас пен билеушінің көмегімен құрылыстың проблемалары, радикалдардағы алгебралық теңдеулердің шешілуі, примитивтердегі дифференциалдық теңдеулер және т.б. жаратылыстану топтық теорияның проблемаларына тән. Әртүрлі комбинаторлық мәселелер белгілі бір қасиеттерді қанағаттандыратын объектілерді санауға дейін қайтадан топтық теорияға дейін азаяды.

Егер G – топ X – Гомоморфизмді орнатыңыз және беріңіз φ : G → SymXсосын топты айтыңыз G X жиынтығында әрекет етеді. Егер Ker (φ) = {e}, әрекет аталады дәл. Ескертуді «жеңілдету» үшін біз анықтай аламыз g оның бейнесі және ерікті x X оның бейнесі салыстырмалы түрде жазады xg. Эквиваленттік қатынасын енгіземіз X Ережеге сәйкес: элементтер x, y X егер бар болса, баламалы болып табылады g Gбұл xg = y. Эквиваленттік сыныптар шақырылады орбиталар топтар G. Деп саналады G транзитивті түрде әрекет етеді (және презентация болып табылады) өтпелі) егер тек бір орбита болса. Гомоморфизм φ : G → SymX шақырылды қойылмалы таңба топтар G (дәлірек айтқанда, «қоныс аудару» термині «алмастыру тобын» сәтсіз деп санайды, өйткені «репитация ұсыну» термині басқа мәнге ие). Егер Ker (φ) = {e}, презентация шақырылады дәл.

Енді еркін топты қарастырайық. G және оның кіші тобы H. Топ G кіші топтағы сабақтас сыныптар жиынтығында әрекет етеді H құқықты көбейту арқылы: (Hg1)g2 = H(g1g2). Осылайша, өтпелі өкілдігі бар φ : G → SymG / H. Егер H топтың қалыпты кіші топтары болмайды Gонда бұл презентация дәл болып табылады. Атап айтқанда, егер H = {eбұл тұсаукесер G → SymG/ % = SymG әрдайым дәл және шақырылған тұрақты топтық презентация G. Осылайша, кез келген топты ауыстыру тобы ретінде қарастыруға болады. Бұл топтың кез-келген өтпелі көрінісі G осы жолмен алуға болады.


Келесі мәтінді түсіну үшін сіз университеттің алгебра курсын білуіңіз керек

Топтардың келесі үлгісі векторлық кеңістіктен туындайды. Келіңіздер V – өріс үстіндегі векторлық кеңістік F (Мен векторлық кеңістікті және өрісті анықтамаймын, векторлық кеңістіктің мысалы – жазықтық, ал өрістің мысалы – қосу және көбейтуге қатысты ұтымды сандардың жиынтығы). Векторлық кеңістіктің сызықтық емес сызықтық емес түрленулер жиынтығы V топты қалыптастырады және шақырылады жалпы сызықты топ (GL арқылы белгіленеді (V)). Бірдей өлшемнің векторлық кеңістігін тексеру оңай n бірдей өріске ұзындық жолдарының кеңістігіне изоморфтық болып келеді n, ал вырожденен сызықты емес түрлендірулер жиынтығы бұзылмайтын матрицалар жиынтығына сәйкес келеді. Бұл жағдайда жалпы сызықты топ GL ретінде жазыладыn(F).Шындығында, бұл мысал қатаң айтқанда жаңа, өйткені GL (V) ≤ SymV. Дегенмен, топтың осы класын оның жеке үлгісінде іріктеуіне байланысты маңыздылығы. Гомоморфизм φ : G → GLn(F) деп аталады сызықтық ұсыну топтар G өріс үстінде F дәрежесі nжәне кеңістік V шақырылды G-модулі. Кіріспе сөзінде айтылған доптың симметриялық тобы үш өлшемді кеңістіктің барлық желілік түрлену топтарымен сәйкес келеді, ол векторлардың ұзақтығын сақтайды, жалпы ортогоналды топ.


Топтардың үшінші мысалы төменде пайда болады. Келіңіздер X = {x1, x2, …} – кейбір алфавит (түпкілікті немесе шексіз). Оны ресми рәміздермен толтырайық. X-1 = {x1-1, x2-1, …} және әліпбидегі сөздердің жиынын қарастырыңыз X X-1. Өзгерістер енгіземіз:

(1)
таңбаларды жою xixi-1 немесе xi-1xi;

(2)
кез келген орын сөздерін қосыңыз xixi-1 немесе xi-1xi.

Екі сөз u, v егер бір сөзді екіншісіне аударатын (1) немесе (2) типті түрлендірулер тізбегі болса, біз баламалы деп атаймыз. Эквиваленттік сыныптар жиынтығында біз бір сөзді екінші соңына тағайындау арқылы көбейту әрекетін анықтаймыз. Сонда біз топқа шақырамыз тегін топ және белгіленген F[X], және осы топтың элементтері шақырылады сөздермен. Бұл құрылыстың әмбебаптығы формальды тілдерді (мысалы, бағдарламалау тілдерін), сондай-ақ кодтау теориясынан, танудан және басқа да көптеген тапсырмаларды зерттеу үшін еркін топтарды жасайды. «Еркін» термині ерікті топты G және ондай жиыны бар Мбұл М = Gонда көптеген сөздерді қарастыра аламыз X шартпенX| = |М| содан кейін гомоморфизм бар φ : F[X] → G. Гомоморфизмнің ядросы Ker (φ), кейбір сөздер жинақталған R. және топтық жазба G түрінде G = < X|R. > шақырылды қатынастарды айқындайтын және қалыптастыратын топтың міндеті. Мүмкін, бұл топты тағайындаудың ең абстрактілі жолы, сондықтан ең қиын. Біз мұнда осылай айқындалған топтардың үлгілерін бермейміз.


Like this post? Please share to your friends:
Топтық теория – Мәртебелі ғылым ">
Leave a Reply

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: