Топтық теория - жетілу ғылымы. Кейбір бастапқы анықтамалар мен белгілеулер

Топтық теория – Мәртебелі ғылым

Евгений Вдовин

  • Кіріспе
  • Кейбір бастапқы анықтамалар мен белгілеулер
  • Топ аксиомалары
  • Топтық мысалдар
  • Қорытынды

Кейбір бастапқы анықтамалар мен белгілеулер

Біз мүмкіндігінше аз формулалар мен арнайы математикалық символдарды қолдануға тырысамыз, бірақ оларсыз онсыз мүмкін емес. Әдетте, жиынтықтар латын әріптерімен, ал олардың элементтері – кіші әріппен белгіленеді. Егер A – көптеген, және а – Кейбір элемент, содан кейін жазба а A «оқыды» элементі а көптеген адамдарға тиесілі A«, тиісінше, жазба а A білдіреді «элемент а жиынтыққа жатпайды A“.

Ендеше, жиынтығы, элементі және мүшелік туралы түсінік қазіргі заманғы математикадағы негізгі түсініксіз түсініктер болып табылады. Кез келген жиын оған енгізілген элементтермен анықталады (ол, өз кезегінде, жиынтықтар болуы мүмкін). Сондықтан жиынтықты айтады анықталды немесе орнатыңызегер қандай да бір элемент үшін ол осы жиынға тиесілі ме, жоқ па деп айта аламыз. Екі жиын үшін A, B жазбалар B A, B A, BA, B A, B \ A, A × B сәйкесінше білдіреді B жиынның жиыны болып табылады A (яғни, кез келген элементтен B сондай-ақ Aмысалы, табиғи сандар жиынтығы нақты сандар жиынынан тұрады; әрдайым басқа A A), B жиынтығының тиісті жиыны болып табылады A (мысалы, B A және BA), жиынтықтардың қиылысы B және A (яғни бір мезгілде орналасқан барлық осындай элементтер Aжәне Bмысалы, бүтін сандардың қиылысы және оң сандардың нақты сандары табиғи сандардың жиынтығы), көптеген жиынтығы B және A (яғни, ішіне жататын элементтерден тұратын жиын Aнемесе оның ішінде B), айырмашылықты орнатыңыз B және A (яғни, жататын элементтер жиынтығы Bбірақ ішпеңіз A), Жиынтықтардың декарттық өнімі A және B (Яғни, пішіндегі жұптардың жиынтығы (а, б) мұнда а A, б B). Арқылы |A| әрқашан белгіленген қуат жиынтығы Aяғни жиынтықтағы элементтердің саны A. Анықтамалар үнемі бөлінеді. курсивпен.

Біз картография, қарым-қатынас және эквиваленттік түсініктерсіз жұмыс істей алмаймыз. Біз бұл тұжырымдамалардың қатаң логикалық анықтамаларын бермейміз, оларды түсіндіреміз. Карталау бір элементпен байланыстыратын функция ретінде қарастыруға болады (шақырылған прототипі) басқа да элемент (шақырылады жол). Өмірде біз үнемі бейнелеу тұжырымдамасымен бетпе-бет келіп отырмыз, мысалы, театр билетін сатып аламыз, сол себепті театр залы мен билеттің арасындағы орынды көрсетеміз. Жалақы алатын болсақ, біз айдың ішінде жасалынған жұмыс пен оның төленетін ақша арасындағы салыстыруды орнатамыз. Футбол командаларының ойыншыларының тізімдерін оқып, ойыншылар мен ойыншылардың арасында ойнауға болатын карталарды белгілейміз. Осылайша, көптеген карталар бар, біздің өміріміздегі барлық нәрсе бір немесе басқа көрсетуде. Арнайы көрсетудің әртүрлі түрлері бар, содан кейін мәтінде келесі 3 түрі қолданылады: инъективтік картаға (инъекция), сюръективтік салыстыру (сюжеті) және биіктік картаға (биекция). Интегралды карталау – әртүрлі кескіндерді әртүрлі бастапқы элементтерге салыстыратын карталау. Сюръективтік салыстыру – әрбір суретнің прототипі болатын карталау. Ақыр соңында, биективтік көрсету – инъективтік және сюръективтік болып табылатын картография.

Осы тұжырымдарды көптеген билеттер мен театрдағы көптеген орындарды салыстыру мысалында түсіндірейік.N қалашығында қаланың кинотеатрын елестетіп көріңіз, онда Қалқан мен Қылыш мың рет жүреді. Әрине, тек оны көргісі келетіндер ғана бар және «Kiss Line» -де екі билет алған бір жұп бар. Кинотеатрға келгеннен кейін, жұбайлар өздерінің қуанышына қарамастан, олар мұнда жалғыз екендігін түсінеді, бірақ білімді адамдар ретінде олар билетте көрсетілген орындарды алады. Бұл жағдайда, әрине, картаға түсіру инъективті болып табылады, өйткені әртүрлі билеттер түрлі орындарға сәйкес келеді. Бірақ бұл сюръективті емес, өйткені бізде әлі де бір билет сатылмаған көптеген бос орындар бар. Осылайша, сюжеттік емес картография кинематографияның әкімшілігі үшін тиімсіз.

Енді келесі күні сол қаланың сол кинотеатрында Тарантинодан жаңа блокбастерді іске қосуға уәде беріп, Тарантино өзі фильмнен кейін аудиториядан сұрақтарға жауап беретінін айтты. Әрине, кассалар адамдарға толы, ал менеджмент «қателесіп», сол орындарға билеттердің екі жиынтығын сатады. Біз сеанста орын алған орынға байланысты бөлшектеуді сипаттайтын боламыз, тек қана әрдайым экранға түсіріп отырғандығымызды ескертеміз, өйткені әр орын үшін екі билеттер бар, өйткені әрбір орын үшін билет сатылған, бірақ инъективтік емес.Осылайша, инжекционды емес картография тұтынушылардың құқықтарына тікелей қайшы келеді және «Тұтынушылардың құқықтарын қорғау туралы» заңның кейбір баптарына жатады.

Ал, соңғы оқиға 2006 жылғы 1 қаңтардан қарсаңында N қаласында сол кинотеатрға қарайды. Жылдың көпшілікке жарияланған алғашқы фильмі тағы бір рет қоғамдық аджиотажды тудырады, ал қазір бұрынғы ащы тәжірибемен оқытылған менеджмент әр сеанс үшін нақты бір билет сатылымын қамтамасыз етеді. Нәтижесінде, әрбір көрермен тыныштықпен өз орнын алады, және әрбір сессия толық үйден басталады. Осылайша, бұл соңғы мысал инъективтік және сюръективті көрініс, яғни биекция. Демек, биекция – бұл дирекцияға мүмкіндігінше оңтайлы және аудиторияға мүмкіндігінше қолайлы алтын термин. Биекцияның бұл тұжырымдамасы кіріспеде талқыланған симметрияның интуитивті тұжырымдамасын математикалық формалдау болды. Сондықтан, бұл жағдайда бұл ең керемет көрініс болып табылатын биекция болып табылатыны таңқаларлық емес.

Карталау жиынтықтан A жиынтығында B кейбір ережелерді қолданып, олардың әрқайсысының көмегімен A сіз бір элементті сәйкес келтіре аласыз B. Біз әдетте грек әріптерімен белгілеп, жазып аламыз φ : ABжәне кез келген элементтің бейнесі а A дисплейге қатысты φ жазылады . Мұндай жазба, бірінші кезекте, ерекше функцияларды жазуға пайдаланылатын адамдарға (ерекше жағдайларды көрсету) ұқсас φ(а), бірақ біздің презентация үшін бұл ыңғайлы болады. Егер 3 жинақ болса A, B, C және салыстырулар берілген φ : AB және ψ : BCонда сіз салыстыруды жасай аласыз φψ : AC ретінде құрамы (дәйекті орындау) көрсету φ және ψ. Егер сол жақта дисплейді жазған болсақ, композиция φψ сол жақтан, араб тілінен оқуға тура келеді. Болашақта біз келесі арнайы карталар түріне мұқтажбыз: инъекция (дисплей φ : AB кез келген өзгеше болса, инъекциялық деп аталады x, y A заттар , сондай-ақ әртүрлі) сюжеті (дисплей φ : AB кез келген жағдайда сюръективті деп аталады y B мұндай бар x Aбұл = y), биекция (бір мезгілде инъекция және сорғызу). Рационалды сандардан рационалға дейінгі салыстырулардың мысалы көрсетілуі мүмкін: xx3, xx2, xx/ 2. Біріншісі – инъективті, бірақ сюръектив емес, екіншісі сюръективті де, инъекциялық емес де, үшінші – биекция.

Математиканың тағы бір маңызды тұжырымдамасы қатынастар. Әрбір екі элемент үшін (нысандар, заттар, тірі заттар және т.б.) бұл көзқарастың бар-жоқтығын анықтауға мүмкіндік беретін белгілі бір ереже ретінде қарастыруға болады. Біздің өмірімізде әрқашан әртүрлі қарым-қатынастарда біз үнемі кіріп, еріксіздік танытамыз. Мысалы, туыстыққа қатысты (түрлі дәрежедегі қатынастарда) жұмысшы-жұмыс беруші қатынасы, жүргізуші-жолаушы, сатушы-сатып алушы және т.б. қатынасы. өз табиғатына қамқорлық жасау.

Біз кейбір жинақтарда айтады A орнатыңыз R қатынасыегер кез-келген екі элемент үшін а, б туралы A біз олармен қарым-қатынаста болатынын білеміз R. немесе жоқ. Басқаша айтқанда, көзқарас R. карталау бар R. : A × A → 1, 0}, мұнда 1 мән «шын» деп, ал 0 мәні – «жалған» (элементтердің қабылданатын тәртібі маңызды екенін ескеріңіз) а және б).Әдетте, қатынастарды белгілеу үшін біз ≡, ~, қатынастар ыңғайлы түрде жазылған а ~ бегер болса а және б қатысты R. және а бегер болса а және б байланысты емес R.. Келісім A шақырылды эквиваленттікегер келесі аксиомалар орындалса:

(ECB1)
кез келген а A жасалды а ~ а (рефлексиялықтың аксиомасы);

(ECB2)
кез келген а, б туралы A туралы а ~ б төменде келтірілген б ~ а (симметрия аксиомасы);

(ECB3)
кез келген а, б, с туралы A туралы а ~ б және б ~ с төменде келтірілген а ~ с (транзитивтілік аксиомасы).

Байланыстардың мысалдары – ≥ нақты сандар жиынтығына қатынасы, бүтін сандар жиынтығындағы бөліну коэффициенті, нақты сандар жиынтығындағы теңдік қатынасы, табиғи сандар жиынтығына бөлінген қалдықтардың теңдік қатынасы. Айта кетейік, алғашқы екі қатынас эквиваленттік болып табылмайды, ал екіншісі – бұл. Соңғы қатынас үшін арнайы сан бар: бүтін сандар м, n деп аталады салыстырмалы модуль k (ретінде жазылған мn (мод k)) егер болса nм бөлінген k.

Егер жиынтықта болса A эквиваленттік қатынасы бар болса, онда бүкіл жиынтық бөлінеді эквиваленттік сыныптар – қосарланған баламалы элементтердің жиынтығы, және кез-келген екі сынып қиылыспайды немесе сәйкес келмейді. Шынында да, айталық C1, C2 – екі эквиваленттік сынып және олардың қиылысы C1C2 бос емес және кейбір элемент бар x. Сонда кез-келген элемент үшін y C1, эквиваленттік класс анықтау арқылы, қанағаттандырылды x ~ y. Сонымен қатар кез келген z C2, қайтадан эквиваленттілік класын анықтау арқылы қанағаттандырылды z ~ x. Трансивтілік аксиомасы (жағдай (EKV3)) арқасында біз оны аламыз y ~ zбілдіреді C1 = C2. Жинақтың сыныптары A эквиваленттік бойынша ~ A / ~.


Like this post? Please share to your friends:
Топтық теория – Мәртебелі ғылым ">
Leave a Reply

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: