Топтық теория - жетілу ғылымы. Топ аксиомалары

Топтық теория – Мәртебелі ғылым

Евгений Вдовин

  • Кіріспе
  • Кейбір бастапқы анықтамалар мен белгілеулер
  • Топ аксиомалары
  • Топтық мысалдар
  • Қорытынды

Топ аксиомалары

Бұл бөлімде басталмаған мәтін аяқталады . Келесі екі абзац соңғы параграфтар болып табылады, олар үшін оқуға арнайы күш салу қажет емес.

Н қаласы кинотеатрының сол кинотеатрын қарастырып көрейік, отырыстардың бірінде көрермендердің көзқарасы кейбір ережеге сәйкес билеттермен алмасуды ұйымдастыру болып табылады. Мысалы, әр жолдың бірінші орыны екіншісімен, төртіншіден төртінші және т.б. өзгереді Нәтижесінде, бәрі бір жағынан «өзімен бірге» тұрады – әрбір билет бар, ал екінші жағынан – әрбір өз орнын өзгертті. Егер біз басқа ережеге сәйкес алмасатын болсақ, онда үшінші, содан кейін нәтиже – әрбір адамға бір билет бар – өзгермейді. Бұл жағдайда, қондыру тәртібі бастапқыда салыстырғанда айтарлықтай өзгеруі мүмкін. Осылайша, мұндай өзгерістер көптеген жерлердің симметриялары (немесе, дәлірек айтқанда, көптеген көрермендер) болып табылады және оларды қанша рет орындауға болмасақ та, әр көрерменнің дәл бір билеті бар басты ерекшелігі өзгермейді.Билеттермен алмасуды дәйектілікпен орындау «көбейту» деп аталады (бірақ ол біз үйреніп жатқан нақты көбейтуден өте алыс болса), онда мұндай «көбейту» бар барлық алмасу жиынтығы өте маңызды алгебралық құрылымды құрайды – топ. Жалпы алғанда, кез-келген топ – көбейту, сондай-ақ ол тек билет алмасуымен орындалатын объектінің (жиынтықтың) симметрия жиынтығы – дәйекті орындау.

Осылайша, объектінің симметриялық тобы неғұрлым үлкен болса, соғұрлым ол көп симметрия. Айтуынша, симметрия неғұрлым симметриялы болса, объектіні неғұрлым жетілдіретін болса, симметриялар тобының өлшемі белгілі бір объектіні жетілдіру шарасының рөлін атқарады. Ұшақтың тұрақты формаларын қарастырайық: үшбұрыш, шаршы, алтыбұрыш және шеңбер. Олар симметриялы фигуралар, бірақ олар әртүрлі тәсілдермен симметриялы. Осылайша, үшбұрыштың тек алты симметриясы бар: масс орталығының айналасында айналуы (медианның қиылысу нүктесі) 120 градустың көптігі (бұрылыс 3) және кез-келген медицинаға қатысты көрініс (3 мұндай көрініс бар). Квадраттың сегіз симметриясы бар: 90 градусқа дейінгі бұрышпен орталықтың айналасында бұрылыс (бұрылыс нүктесінің қиылысы) (4 айналым бар)сондай-ақ кез-келген диагональ бойынша симметрия (олардың екеуі де бар) және квадраттың қарама-қарсы жақтары ортаңғы нүктелерін байланыстыратын кез келген түзу сызық (олардың екеуі де бар). Он алты қырлы қазірдің өзінде 12 симметрия бар (біз оларды оқырманға тізімдейміз) және симметрия шеңбері шексіз санқа ие – бұл кез-келген бұрышқа бұрылыс және шеңбердің ортасынан өтетін кез-келген жолға қатысты симметрия. Осылайша, ең керемет фигура – шеңбер, одан кейін төртбұрыш, содан кейін квадрат және ең кем дегенде керемет фигура – үшбұрыш.

аяғына дейін

Келіңіздер G – ерікті жиынтығы және оны екілік (екі аргументтен екіншісіне) «·» деп аталатын деп болжайды, әдетте көбейту арқылыкез келген екі элемент үшін а, б осы жиынтығымен олармен белгіленетін элементпен біріктіреді а · б немесе жай ғана Аб. Бұл элемент арқылы Аб шақырылды өнім заттар а және б. Егер келесі үш шарт қосымша орындалса (шақырылады) топ аксиомалары):

(ГР1)
кез келген үшеуі үшін а, б, с туралы G шынайы теңдік (Аб)с = а(бк) (қауымдастығының заңы);

(GR2)
мұндай элемент бар eкез келген зат үшін а туралы G шынайы теңдік ae = ea = а (бірліктің болуы); мұндай элемент e шақырылды біреуі топтар;

(ГР3)
кез келген зат үшін а туралы G мұндай элемент бар ббұл шынайы теңдік Аб = ba = e (керісінше); мұндай элемент б шақырылды кері үшін a және белгіленеді а-1;

содан кейін көп G көбейту операциялары нысандарына қатысты топ. Егер бір мезгілде тағы бір аксиом орындалса:

(ГР4)
кез келген заттар үшін а, б туралы G шынайы теңдік Аб = ba (коммутативтілік құқығы),

онда топ деп аталады коммутативті немесе абелян. Әртүрлі топтардың мысалдары, сондай-ақ топтар пайда болатын табиғи жағдайлар, біз төменде келтіреміз. Белгілі мысалдар – бүтін сандар жиынтығы, нөлден тыс ұтымды сандардың жиынтығы көбейту арқылы және т.б. Топтық аксиомалардың бірнеше қарапайым салдарын атап көрсетеміз: элемент элементі және кері элемент бірден анықталады. Шынында да, екі бірлік элемент бар делік e1, e2, онда аксиома қолдану (GR2) келесі теңдік тізбегін береді e1 = e1e2 = e2. Сол сияқты, кейбір элементтер үшін де а екі кері сан бар б1, б2, онда аксиомаларды (GR1) – (GR3) қолданып, келесі теңдік тізбегін аламыз б1 = б1e = б1(Аб2) = (б1а)б2 = е2 = б2.

Егер М – топтың ерікті жиынтығы Gонда жиынтықта көбейту операциясын қарастыра аламыз М, ол: М × МG. Топтамада пайдалану М біз шақырамыз индуцирленген жұмыс. Ішкі жиын H топтар G шақырылды кіші топегер бұл өзі индуцирленген операцияға қатысты топ болса. Ішкі жиынның өнімге қатысты жабық болса (мысалы, кез-келген екі с1, с2 H элемент с1 · с2 қайтадан жатыр H) және керісінше қабылдау үшін жабық (яғни кез келген с H элемент с-1 қайтадан жатыр H). Қысқаша айтқанда ол жазылған HH H және H-1 H. Қосымша мәлімдеме «H топтың кіші тобы болып табылады G«Біз жақын арада жазамыз HG.

Келіңіздер G ерікті топ H – оның кіші және g – Ерікті топтық элемент G. Көп нәрсе Hg = {hg | с Hшақырылды көрші сынып (дұрыс көрші сынып) элемент g. Біз осы қатынастарды енгіземіз g1g2 (мод H) топтың элементтер жиынтығында G ережеге сәйкес: g1g2 (мод H) және сол кезде ғана Hg1 = Hg2. Бүтін сандардың бөліну коэффициентіне ұқсас жоғары белгілерді қолдану (жоғарыдан қараңыз) кездейсоқ емес, өйткені бөлінудің қатынасы көршілес сыныптардың теңдігі болып табылады. Шынында да, топ ретінде G жинақ қабылданады бүтін сандарды қосу арқылы және кіші топ ретінде H Ішкі жиын орындалады k бөлінген сандар k. Әрине, біз анықтаған қатынас эквиваленттік болып табылады, эквиваленттік кластардың жиынтығы белгіленеді G / HқуатG / H| эквиваленттік кластардың жиынтығы да | |G : H| және шақырылады индексі бойынша кіші топтар H топта G. Әрине, кез келгені үшін g G жәрмеңкеHg| = |Hонда біз дереу маңызды Лагранж теоремасы: |G| = |G : H| · |H|, атап айтқанда, кіші топтың тәртібі әрқашан топтың тәртібін бөледі.

Орнатылған G / H Әрине көбейту операциясын анықтай аласыз: Hg1 · Hg2 : = Hg1 · g2. Анықтаудың дұрыс болуы үшін, яғни, жиынтықтардың теңдігі Hg1 · Hg2 = {с1g1 · с2g2 | с1, с2 H} және Hg1 · g2 = {hg1 · g2 | с H}, кез келген үшін қажет және жеткілікті g G теңдік орындалған g-1Hg = {g-1hg = с | с H} = H (бұл жағдай біз төмендейміз HG H). Өрнек g-1Hg шақырылды ұштасқан элементті қолдану g және жиі көрсетіледі Hg. Өрнек gHg-1 = Hg-1 біз жазамыз gH. Кіші топ Hшартты қанағаттандыру HG Hшақырылды қалыпты жағдай топтың топшасы G (арқылы белгіленеді H G) және нәтижесінде алынған топ G / H шақырылды факторлық топ топтар G кіші топ H. Кәдімгі топтың және факторлық топтың ұғымдары теориялық маңызды топтардың қатарына жатады, себебі олар топтарды шағын топтарға қысқартуға мүмкіндік береді (ішінара, өйткені H және G / H топ G бірқалыпты анықталды). Қалыпты ішкі топтары жоқ топ шақырылады қарапайым.

Әрине, кіші топтардың кез-келген санының қиылысы тағы да кіші топ болып табылады. Бұл бізге анықтауға мүмкіндік береді М тобының жасаған кіші топ, Ішкі жиынтығы бар ең кіші топ ретінде Мяғни топтың барлық кіші топтарының қиылысуы Gкөптеген бар М. Жинақпен құрылған кіші топ Мбелгіленеді М. Бұл оңай М элементтердің барлық түрлерінің жиынтығы М және оларға қайта оралу. Бір элемент арқылы құрылған топ а шақырылды циклдікжәне оның бұйрығыа| : = |а| шақырылды тәртіпте элемент а. Элементтің тәртібі ең аз сан екенін тексеру оңай. nолар үшін тең e. Лагранж теоремасынан элементтің тәртібі әрқашан топтың тәртібін бөліп тұратындығына байланысты болады.

Осы бөлімнің соңында топтардың изоморфизм тұжырымдамасын ұсынамыз. Егер G, H – топ, содан кейін салыстыру φ : GHсақтау операциясы (яғни, барлығы үшін g1, g2 G жасалды (g1 · g2)φ = g1φ · g2φ) деп аталады гомоморфизм, жиынтығы Ker (φ) = {g G | = eшақырылды гомоморфизмнің ядросы, және көптеген = { | g Gшақырылды гомоморфизм. Егер Ker (φ) = {e}, және = Hяғни егер φ бұл биекция, содан кейін картаға түсіру φ шақырылды изоморфизмжәне топтар G және H изоморфтық (белгіленеді G H). Гомоморфизм теоремасы бұл туралы айтады H = Ker (φ) – қалыпты топтың кіші тобы G және G / H. Изоморфизмді өздері үшін екі топтың «ұқсастығы» ретінде қарастыруға болады, біз оларды бөлмейміз (шын мәнінде олар әртүрлі жиынтықтар болуы мүмкін). Осылайша, теориялар, қатаң айтқанда, топтардың изоморфизм кластарын зерттейді. Күнделікті өмірде біз абстракцияның жоғары немесе төмен деңгейінің изоморфизмін жиі орнықтырамыз. Мәселен, мысалы, «гардероб» түсінігі деп аталатын жиһаздың изоморфизмдік класы бар, және біз белгілі бір белгілер бойынша анықталған нәрсе «шкафтарға» тиесілі ме, жоқ па екенін анықтаймыз. Осындай жоғары деңгейдегі абстракцияның жетіспеушілігінен біз төменгі деңгейге түсіп, шкафтарды «асүй», «кітап», «киім шкафы» және т.б.Топтардағы изоморфизм тұжырымдамасы – біздің абстракция деңгейінде объектілерді ажырататын немесе анықтайтын құрал.


Like this post? Please share to your friends:
Топтық теория – Мәртебелі ғылым ">
Leave a Reply

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: