Нүктелер мен сызықтар • Николай Авылов • «Элементтер» бойынша танымал ғылым мәселелері • Математика

Ұпайлар және түзу

Тапсырма

Біз мектепте геометрия сабақтарында екі түрлі нүкте арқылы үйренсек, дәл бір сызықты сызуға болады. Айналыстағы нүктелер бірегей сызықты анықтайтынын айта аламыз. Бірақ егер көп ұпайлар болса, олар анықтайтын жолдардың саны басқаша болуы мүмкін. Мысалы, оның орналасуына байланысты үш нүкте үш түзу сызықтарды (егер бұл нүктелер жойылмайтын үшбұрыштың шыңдары болса) немесе бір түзу сызықты (егер бұл нүктелер бір-біріне ұқсас болса, яғни бір түзу жолда жатса) анықтай алады. Егер одан да көп ұпайлар болса, олардың өзара келісімі үшін көп мүмкіндіктер бар, сондықтан «қанша тікелей тікелей осы n Көптеген ұпайлар болады ». Бірақ бұл тапсырма ұпайларды нақты конфигурациялаумен айналысуға ұсынылады және кейінірек кейбір жалпы сұрақтарды талқылаймыз.

Сурет. 1

а) Шағылысқан қағазда біз бес ұяшықтың бір жағымен шаршы қабылдаймыз және оның ішіндегі және оның шекарасындағы барлық нүктелерді белгілеп аламыз – 6 × 6 шаршы торда 36 нүкте аламыз (1-сурет). Қанша? осы нүктелерді тікелей анықтаңыз? Егер 64 балл (8 × 8 тор түрінде) болса?

б) Тұрақты тетраэдрдің шеттерінің ұзындығы 4-ке тең. Олардың әрқайсысында жиегі біртұтас сегменттерге бөлетін үш нүкте белгіленген. Тетраэдрдің шыңдары да белгіленген. Қанша? сызықтар барлық белгіленген нүктелерді анықтайды?


Кеңестер

Нүктелердің аз санымен анықталған сызықты санауға тырысыңыз – 4, 9 немесе 16 ұпай. Егер жауаптар 6, 20 және 62 болса, онда сіз дұрыс жолдасыз.

Негізгі қиындық – бірнеше түзу сызықтар тек екі таңбалы нүктеден, ал кейбіреулері үш немесе одан да көп таңбаланған нүктелер арқылы өтеді. Мәселені шешу кезінде түзу сызықтарды санау жүйесін ұйымдастыру қажет.


Шешім

Барлық түзу сызықтарды параллель түзу сызықтардың бөлінбейтін сыныптарына бөлеміз. Әрбір сыныпта бір көлбеу сызық бар. k.

Сурет. 2 Параллель сызықтардың кейбір бөліктері

Суретте. 2 жолдың кейбір сыныптары көрсетілген. Олардың бұрыштық коэффициенттері, 0-ден және 1-ден басқа, барлық мүмкін емес неприводимые дұрыс фракциялар, олардың деноминаторы 5-тен аспайды. Жалпы алғанда барлық сыныптарды алу үшін суреттің симметриясын ескеру қажет. Мәселен есептеу кезінде, – және сандарды қосуға қалдырыңыз, – сабақтардағы жолдардың саны k = 0 және k = 1 есе көбейту қажет, ал басқа класстарда – төрт рет. Нәтиже – 2 × (6 + 9) + 4 × (5 + 4 + 3 + 2 + 10 + 6 + 15 + 12 + 12) = 306 жол.

64 ұпайға ұқсас есептеу 938 сызықты береді.

Енді тетраэдрмен айналысайық. Бұл мәселені дереу жалпы түрде қарауға болады. Тетраэдрдің рамасын ұзындық шеті бар болсын м нүктелерді бөлек сегменттерге бөледі.Осы нүктелер мен тетраэдр шыңдары қанша түрлі түзу сызықтарды анықтайды?

Тетраэдрдің 4 шыңы және 6 шеті бар. Төрт шиыршық жақтағы шыңдармен және бөлу нүктелерімен бірге 4 + 6 таңбасы (м − 1) = 6м – 2 ұпай. Егер бұл ұстанымдардың барлығы жалпы жағдайға ие болса (яғни, олардың үшеуі бірдей сызықта болмаса), олар анықтайды (6м − 2)(6м − 3)/2 = (3м − 1)(6м – 3) тікелей сызықтар (егер нүктелер жалпы жағдайда болса, олардың кез-келгені өздерінің түзу сызығын анықтайды). Енді біз тетраэдрдің әр қырында таңбаланғанын ескеруіміз керек м + 1 ұпай жалпы жағдайы жоқ. Егер бұл ұстанымдар жалпы жағдайда болса, онда олар анықтайды м(м + 1) / 2 түзу сызық. Бірақ бұл барлық сызықтар сәйкес келеді – бұл тетраэдрдің осы шетінен тұратын сызық. Демек, берілген нүктелерде анықталған жолдардың жалпы саны (3м − 1)(6м − 3) − 6·м(м + 1) / 2 + 6. Жеңілдетілгеннен кейін біз 15 аладым2 − 18м + 9 түзу сызық. Біздің міндетімізде м = 4, сондықтан жауап 177 жол.


Кейінгі сөз

Мәселе туралы бірінші сұраққа жауап беретін ойларды қолданатын болсақ, онда біз басқа алаңдарға жауап таба аламыз n2 ұпайлар. Міне, олар үшін n 2, 10: 6, 20, 62, 140, 306, 536, 938, 1492, 2306. Бұл жүйе A018808 санындағы бүтін жүйелі онлайн энциклопедиясына енгізілген.

Нөмірді білдіруге қатысты қарапайым формула бар ма? N мұндай сызықтар ерікті n? Келіңіздер, оны іздеп көрейік.

Біз геометриядан екі белгілі фактіні қолданамыз.

1) Егер жазықтықта белгіленсе k жалпы ұстанымдағы нүктелер (бұл нүктелердің үшеуі бір түзу сызықта болмайтынын еске түсіріңіз), осы нүктелермен анықталған түрлі түзу сызықтардың саны k(k − 1)/2.

Біз бұл шешімді ерітіндіде қолдандық және оны индукция арқылы оңай дәлелдей аламыз.

2) Егер жазықтықта белгіленсе k бір сызықта болмаған нүктелер болса, онда олар кем дегенде анықтайды k түрлі түзу сызықтар.

Екінші мәлімдеме айқын көрінеді, бірақ ол алғаш рет ХХ ғасырдың ортасында ғана дәлелденді және қазір де Брюин-Эрдиос теоремасы ретінде белгілі.

Осы екі қасиет негізінде, санның бағаларын жасай аласыз N(n). Екінші фактіні пайдаланып төменгі шекке ие боламыз: N(n) ≥ n2. Бірінші фактіні пайдалана отырып, біз жоғарғы бағаны аламыз: N(n) ≤ n2(n2 – 1) / 2 – анықталған жолдардың саны n2 жалпы ұстанымдары.

Бұл формула болған жағдайда N (n) полинома түрінде n, – және, мүмкін, бұл формуланың ең қарапайым түрі – бұл полинома тек 2, 3 немесе 4 дәрежелі болуы мүмкін. Жоғарыда келтірілген алғашқы бірнеше мәндерді қолдану N, Белгісіз коэффициенттер әдісін қолдана отырып, мұндай многочленом формасында формула жоқ екенін көрсетуге болады.

Параллельді сыныптарға бөлу жолдарын есептеу әдісін тағы бір тәсілмен қарастырып көрейік. Әрбір класс бұрыштық коэффициенті бар барлық параллель сызықтарды қамтиды k = а/б (Бұдан әрі фракциялар тұрақты неприводимые).

Жазықтықтағы кез келген сызық бұрыштық коэффициен және бір ұпаймен анықталады, әр сынып үшін k = а/б нүктелі шаршыда, осы сыныптың барлық жолдарын анықтайтын нүктелерді таңдаңыз. Бұл жағдайда екі жағдай болуы мүмкін:
1) егер болса б < n/ 2, онда бұрыштық коэффициенті бар барлық түзу сызықтарды анықтайтын нүктелер а/бсуреттегі сол жақта көрсетілген көк және жасыл төртбұрыштың ішінде орналасқан. 3 және олардың б·(nа) + а·(n − 2б) = n·(а + б) − 3Аб;
2) егер болса бn/ 2, онда бұрыштық коэффициенті бар барлық түзу сызықтарды анықтайтын нүктелер а/б, оң жақта көрсетілген күріш тіктөртбұрыштың ішінде орналасқан. 3 және олардың (nа) (nб).

Сурет. 3 Олардың көмегімен 100 ұпай шаршыда берілген класстан барлық сызықтарды анықтай аласыз. Сол үшін мысал k = 2/3, оң жағында – for k = 2/7

Саны N(а/ба) сыныпта тікелей сызықтар c k = а/б таңдалған нүктелер санына тең және жоғарыда көрсетілген формулалар бойынша есептеледі.

Сондықтан сан N(nбарлық тікелей, берілген n2 нүктелер формула бойынша есептеледі:

\ N (n) = 2 (N_0 + N_1) +4 \ sum \ шектеу {%} \ sum \ frac ab \ right) \]

мұнда N0 = n – көлденең сызықтар саны N1 = 2n – 3квадрат диагоналіне параллель сызықтардың саны. Бұл формуланы бағдарламалау оңай және нәтиже сәйкестігін тексеру.

Сондай-ақ нүктелік квадраттармен анықталған тік сызықтардың саны үшін қайталану қатынастарын алуға болады, бірақ олар да өте ауыр болып шығады. Толық ақпарат алу үшін, S. Mustonen, 2009 мақаласын қараңыз. Жолдарда және олардың қиылысу нүктелерінде.

Шешімдегі дұрыс тетраэдр үшін келтірілген дәлелдер кез-келген дөңес көпфункция үшін жұмыс істейді, онда барлық жиектер бір-біріне тең болады. Іс жүзінде ешбір жерде ерекше тетраэдиялық қасиеттер қолданылған жоқ, тек шыңдары мен шеттерінің саны ескерілген. Мәселен, дәлелдер сөзбе-сөз қайталанады.

Ол полиэдр болсын B шыңдар және Р қабырғалар. Көпірлермен және көпбұрышты шеңбердің бөлігіндегі нүктелермен бірге белгіленеді Ішінде + R.(м – 1) ұпай. Егер бұл барлық нүктелер жалпы жағдайда болса, онда олар \ \ frac12 (B + P (m-1)) (B + P (m-1) -1) \) жолдарын анықтайды. Бірақ полиэдрдің әрбір шетіндем + 1) егер олар жалпы жағдайда болса, анықтайды м(м + 1) / 2 түзу сызықтары бар, бірақ олар орнына бір ғана сызықты анықтайды. Бұл дегеніміз, олардың барлығы жалпы саннан алынып тасталуы керек және шеттері бар жолдардың саны қосылуы керек. Алын

(B + P (m-1) -1) -P \ cdot \ dfrac12m (m + 1) + P ..]


Like this post? Please share to your friends:
Leave a Reply

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: