V = S = P • Николай Авылов • «Элементтер» бойынша танымал ғылым мәселелері • Математика

V = S = P

Тапсырма

Онда бар ма? – көлемі, беткейі және барлық шеттерінің ұзындығы сандық мәндері сәйкес келетін дөңес полидре?


Кеңестер

Мұндай полидрон, мысалы, дұрыс призмалар арасында бар.


Шешім

Кеңеске сүйене отырып, жарамды призманы іздеңіз. Дұрыс призмасы санмен анықталады n базалық көпбұрыштың тараптары а және биік с.

Барлық шеттерінің ұзындығы:

\ [P = 2na + nh. \]

Негізгі полигон тұрақты болғандықтан, оның аумағы оңай табылғанда, \ (\ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \) болады. Енді проблемадағы қалған призмалық параметрлерін табу оңай.

Оның көлемі V тең:

\ [V = \ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \ cdot h. \]

Беттік ауданы S тең:

\ [S = \ frac12n ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n + nah. \]

Теңдік жоқ V = S бұл \ (\ cdot \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {h-2} \ деп қарастырамыз. Мәселен с > 2. Сондай-ақ, дыбыс деңгейінің өрнегін \ (V = \ frac14na \ cdot \ frac % {h-2} \ cdot h = \ frac {nah ^ 2} {h-2} \ түрінде қайта жазуыңызға болады.

Теңдік жоқ V = Р қатынастары \ (a = \ frac {h ^ 2-2h} {h ^ 2-2h + 4} \) және

\ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {a (h-2)} = \ frac {4 (h ^ 2-2h + 4)} {(h-2 ) ^ 2} = 4 + \ frac % {(h-2) ^ 2}.)

\ ((0; \; {+ \ infty}) аралығындағы \ (f (x) = \ frac % {(x-2) ^ 2} \) функциясы барлық оң мәндерді қабылдайды басқа). Сондықтан іздеген призма үшін қажетті және жеткілікті шарт: \ (n> 12 \) үшін орынды теңсіздікті орындау \ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n> 4 \).


Кейінгі сөз

Ұшақтың ұқсас жағдайында не болатынын көрейік. Мысалы, 4 × 4 шаршы алаңда және периметрдің сандық мәндері бірдей. Сол қасиет 3 × 6 тіктөртбұрышпен және 5 және 12 аяғымен орналасқан оң жақ үшбұрышты ие (1-сурет).

Сурет. 1.

Өздеріңіз білесіздер, тіктөртбұрыш қатаң фигура емес: егер сіз ілмектерді шыңдарға орналастырсаңыз, олар өздерімен бекітілмейді (мысалы, үшбұрыш немесе тетраэдр жағдайында орын алады). Оны пайдалана отырып, облыстың және периметрдің тең мәндері бар параллельограмма бар екенін көрсетуге болады. Ауданы периметрден үлкен тіктөртбұрышты табу қиын: 8 және 5-ші жағы бар тіктөртбұрыш қалады.Таңшақтың бұрыштарының бірін 90 ° -дан 0 ° -ге дейін біртіндеп азайтсаңыз, онда алдымен тікбұрыш бірден параллелограмға айналады, периметр 26 болып қалады ал екіншіден, оның алаңы 40-дан 0-ге дейін үнемі төмендейді, ал бір кездері ол 26-ға тең болады. Бұл қажетті параллелограмм болады. Бұл процесс тіктөртбұрышты рама үлгісінде көрсетіледі (Cурет 2). Мұндай параллелограммдардың шексіз көп екендігі анық.

Сурет. 2

Аймақтың және периметрдің сандық мәндері тең болатын шексіз көптеген үшбұрыштар бар екенін көрсетеміз.Біз барлық үшбұрыштарды сыныптарға бөлеміз, олардың әрқайсысында барлық үшбұрыштар бар. Әрбір осындай сыныпта ауданның және периметрдің сандық мәндері тең болатын үшбұрыш бар. Сыныптың үшбұрыштарының бірін қарастырыңыз. Оның аумағы болсын S1және периметрі бар Р1, сосын коэффициентті ұқсас үшбұрыш k ауданы бар S2 = k2S1 және периметрі бар Р2 = kP1. Егер ұқсастық коэффициенті қабылданса k = Р1/S1онда біз үшбұрышты аламыз \ (S_2 = P_2 = \ frac {P_1 ^ 2} {S_1} \). Не қажет болды.

Мысалы, Мысырдың үшбұрышын алыңыз. Оның периметрі \ (P_1 = 3 + 4 + 5 = 12 \) және ауданы \ (S_1 = \ frac12 \ cdot3 \ cdot4 = 6 \). Ұқсас ұқсастығы коэффициенті 2 бар үшбұрыш аталған қасиетке ие болады: ол 6 және 8 аяғы бар оң жақ үшбұрыш (3 сур., Сол жақта). Сондай-ақ, тең жақты үшбұрыштар қарастырылуы мүмкін. Олардың ішінде қажетті қасиеті бар үшбұрыш бар (4 \ sqrt %): оның ауданы және периметрі \ (12 \ sqrt % \) тең.

Сурет. 3

Осындай жолмен пікірталаста, ұқсас полигондардың әрбір класында бір облыстың және периметрдің сандық мәндері тең болатыны көрсетіледі.

Үшөлшемді кеңістікте мәселенің тұжырымдамасында айтылғандай, көлемнің теңдігіне шартты қосу табиғи болады.Ерітіндіден полиэдрдің әрбір «түрі» көлемнің, бетінің ауданының және шеттерінің жалпы ұзындығының теңдігін қамтамасыз етеді: дұрыс n– карбон призмасы n <12 жоқ.

Атап айтқанда, мұндай текше және тікбұрышты параллелепипед жоқ (бұл төртбұрышты призмалар болғандықтан). Алайда, мұндай полиэдра үшін бастиекті тексеру оңай. Мысалы, текшеге осылай жасалады. Cube with edge а көлемі бар V = а3бетінің ауданы S = 6а2 және жиектердің ұзындығы Р = 12а. Егер S = Р, содан кейін 6а2 = 12а, яғни а = 2. Бірақ содан кейін S = Р = 24, және V = 8.

Дегенмен, кейбір полиэдрлер үшін, үшбұрышқа ұқсас ойлар жұмыс істей алады. Егер барлық полиэдрларды осы сияқты қарастырсақ, онда шеттердің ұзындығы бірдейлік коэффициентінің бірінші дәрежесіне пропорционалды түрде өзгереді, бетінің ауданы екінші дәрежеге пропорционалды болады, ал көлемі үшінші деңгейге бара-бар болады. Яғни, тапсырма осы сұраққа төмендейді: сәйкес жолдар, параболалар мен текшелер бір нүктеде қиылысады ма? Мұндай формулада полиэдрионның пішініндегі өзгеріс жазықтықта осы қисықтардың жылжуына сәйкес келеді.Және кейбір жағдайларда олар бір нүктеде қиылысу үшін орналасуы мүмкін екені анық. Бірақ, барлық тиісті полиэдрді қандай да бір түрде ақылға қонымды түрде сипаттау мүмкін бе? … Егер сізде осы мәселе бойынша идеяларыңыз бар болса – мәселеге түсініктеме жазыңыз!


Like this post? Please share to your friends:
Leave a Reply

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: